Fonctions dérivées
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa fonction dérivée (les formes factorisées sont à privilégier) :
- $f(x)=-4x^3+2x^2-3x+1$
- $f(x)=\frac{3x^2-4x+2}{2}$
- $f(x)=(\sqrt{x}+1)\times (x^2-2)$
- $f(x)=(2x-\sqrt{x})(x+4)$
- $f(x)=\frac{1}{2x-1}$
- $f(x)=\frac{2x-1}{3x+2}$
- $f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{2x-3}$
- $f(x)=(5x^2+1)^2$
- $f(x)=(-2x-1)^3$
-
$f(x)=-4x^3+2x^2-3x+1$
Raisonnement :
C'est une somme, on dérive les termes $-4x^3, 2x^2, 3x $ et $1$ un par un en utilisant la table. On n'oublie pas les facteurs $-4, 2 $ et $3$ devant les puissances de $x$.
Résultat :
$$
f'(x)=-12x^2+4x-3
$$
-
$f(x)=\frac{3x^2-4x+2}{2}$
Raisonnement :
Ce n'est pas un quotient $\frac{u}{v}$ car le dénominateur est une constante. En fait, on peut aussi écrire $f(x) = \frac{1}{2}(3x^2-4x+2)$ ou en simplifiant $\frac{3}{2}x^2-2x+1$.
Résultat :
$$
f'(x)=3x-2
$$
-
$f(x)=(\sqrt{x}+1)\times (x^2-2)$
C'est un quotient \frac{u}{v} avec :
$$
\begin{array}{llll}
u=\sqrt{x}+1 &\text{ donc }& u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\
v=x^2-2 &\text{ donc }& v'=2x
\end{array}
$$
Résultat :
$$
\begin{array}{lll}
f'(x) &=& \frac{x^2-2}{2\sqrt{x}} + (\sqrt{x}+1)\times 2x\\
f'(x) &=& 2x + 2x\sqrt{x} + \frac{x^2}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}} \text{ simplifier ne sert pas à grand chose ici}\\
\end{array}
$$
-
$f(x)=(2x-\sqrt{x})(x+4)$
C'est un quotient \frac{u}{v} avec :
$$
\begin{array}{llll}
u=2x-\sqrt{x} &\text{ donc }& u'=2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}\\
v=x+4 &\text{ donc }& v'=1
\end{array}
$$
Résultat :
$$
\begin{array}{lll}
f'(x) &=& (2-\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+4)+(2x-\sqrt{x}))\\
f'(x) &=& 4x+8-\frac{(x+4)}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\\
\end{array}
$$
-
$f(x)=\frac{1}{2x-1}$
C'est un quotient simple $\frac{1}{v}$ avec :
$$
x=2x-1 \text{ donc } v'=2
$$
Résultat :
$$
f'(x)=\frac{-2}{(2x-1)^2}
$$
-
$f(x)=\frac{2x-1}{3x+2}$
C'est un quotient \frac{u}{v} avec :
$$
\begin{array}{llll}
u=2x-1 &\text{ donc }& u'=2\\
v=3x+2 &\text{ donc }& v'=3
\end{array}
$$
Résultat :
$$
\begin{array}{lll}
f'(x) &=& \frac{2(3x+2)-(2x-1)\times 3}{(3x+2)^2}\\
f'(x) &=& \frac{7}{(3x+2)^2} \\
\end{array}
$$
-
$f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{2x-3}$
C'est un quotient \frac{u}{v} avec :
$$
\begin{array}{llll}
u=3x^2-4x+1 &\text{ donc }& u'=6x-4\\
v=2x-3 &\text{ donc }& v'=2
\end{array}
$$
Résultat :
$$
\begin{array}{lll}
f'(x) &=& \frac{(6x-4)(2x-3)-(3x^2-4x+2)\times 2}{(2x-3^2)}\\
f'(x) &=& \frac{2(3x^2-9x+5)}{(3x+2)^2}\\
\end{array}
$$
-
$f(x)=(5x^2+1)^2$
C'est une puissance de fonction $u^n$ avec
$$
\begin{array}{llll}
u=5x^2+1 &\text{ donc }& u'=10x\\
n=2&&
\end{array}
$$
Résultat :
$$
20x(5x^2+1)
$$
-
$(-2x-1)^3$
C'est une puissance de fonction $u^n$ avec
$$
\begin{array}{llll}
u=-2x-1 &\text{ donc }& u'=-2\\
n=3&&
\end{array}
$$
Résultat :
$$
\begin{array}{lll}
f'(x) &=& -6(-2x-1)^2\\
f'(x) &=& -6(2x+1)^2\\
\end{array}
$$
Il existe des outils dits de "calcul formel" permettant de calculer directement une dérivée. Par exemple XCAS, disponible en ligne. Pour calculer la dérivée de la fonction $f(x)=x^2-x$ :
- Cliquez sur l'icone
pour ouvrir la console XCAS.
-
Définissez la fonction $f$ en tapant
f(x):=x^2-x et validez avec entrée.
-
Tapez
deriver(f) pour obtenir la dérivée de $f$
XCAS permet aussi de développer, simplifier, factoriser, etc. :
-
Pour taper $\sqrt{x}$, on tape
sqrt(x)
-
pour simplifier une expression, utiliser
simplifier()
-
pour factoriser une expression, utiliser
factoriser()
Determiner une equation de la tangente $T$ sous la forme $y = ax + b$ , à la courbe representative de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2-x+1$ au point d'abscisse $x_0=-1$.
Formule de la tangente en $x_0$ :
$$
y=f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)
$$
Attention, $x_0$ est un nombre réel, pas une variable. La seule variable de l'expression est $x$ !
Calcul de la dérivée
$$
f'(x) = 6x - 1
$$
Calcul de $f(x_0)$ et $f'(x_0)$
$$
\begin{array}{lll}
f'(-1) &=& -7\\
f(-1) &=& 5
\end{array}
$$
Utilisation de la formule
L'équation de la tangente est :
$$
\begin{array}{lll}
y &=& -7(x - (-1)) + 5 \\
y &=& -7 x - 7 + 5 \\
y &=& -7 x - 2
\end{array}
$$
